Análisis del Comportamiento Verbal Articulatorio en Conversaciones Grupales Espontáneas. E. Barrull, 1992. (esteban@biopsychology.org)

Apéndice D: Análisis de Componentes Principales (ACP)

Representación en el espacio de los sujetos

Representación en el espacio de las variables

El núcleo fundamental del Análisis de Componentes Principales (ACP), y en general del Análisis Factorial, es el problema de la obtención de los vectores y valores propios (principales) de un operador vectorial, que en el campo del cálculo matricial se da bajo el problema de la diagonalización de una matriz cuadrada. Este problema algebraico, que inicialmente impulsó el desarrollo del Análisis Factorial en el estudio de la regresión lineal entre múltiples variables en los trabajos que Pearson (1901, 1904) realizó en aplicaciones biológicas y psicométricas, se ha convertido, a lo largo de nuestro siglo, en el uno de los instrumentos más extendidos en todas las ramas científicas. No sólo es una técnica de análisis empírico de la varianza, sino que puede jugar un papel decisivo en la formulación teórica, tal y como lo demuestra su papel protagonista en la formulación de la teoría de la Mecánica Cuántica moderna.

Aunque una exposición general de los fundamentos matemáticos del ACP requiera la introducción de espacios vectoriales aleatorios de dimensión infinita, nuestra exposición se hace desde el punto de vista práctico, es decir, centrada en espacios vectoriales reales de dimensión finita, lo que permite una cierta simplificación.

Consideremos un conjunto de medidas {X_i(w_j)} de p variables {X_i} sobre un conjunto de n sujetos {w_j}. Designamos por X_i(w_j) el valor (real) que toma la variable X_i en el sujeto w_j. Estos datos permiten definir una tabla o matriz de la forma

Cuando el número de variables p y el número de sujetos n son mayores que dos, se nos puede hacer difícil la emergencia de relaciones entre variables y/o sujetos (regresión, correlaciones, estructuras, etc.). Desde un punto de vista geométrico, el conjunto de datos puede ser visto como un objeto cuya dimensión es p, donde cada sujeto define un punto de dicho objeto. Una representación bidimensional de dicho objeto siempre será parcial e incompleta, es decir, nunca podrá poner de relieve toda la información contenida en él.

La estrategia del ACP es clara desde este punto de vista. Se trata de encontrar la mejor representación bidimensional posible de dicho objeto, es decir, aquella que es capaz de dar la mayor información de él. El grado de bondad de dicha representación vendrá determinada por el porcentaje de información total del objeto puesta de relieve en ella. En algunos casos puede llegar al 90% mientras que en otros no pase del 30%, lo cual nos indicará el grado de orden del objeto (datos) representado (la información que contiene). Vamos a ver como se consigue esta representación óptima del conjunto de datos de partida {X_i(w_j)}.

En primer lugar, el conjunto de n sujetos {w_j} pueden ser considerados como vectores del espacio vectorial euclidiano (real) R^p, puesto que cada sujeto se determina por su puntuación en cada una de las p variables.

El sujeto w_j de nuestra tabla será el vector

donde X_i(w_j) representa la coordenada del vector-sujeto sobre el vector de la base canónica de R^p, es decir,

El producto escalar definido en R^p es el ordinario

y se representa en la base canónica de R^p por la matriz unidad I_p. Al espacio vectorial R^p lo llamamos el espacio de los sujetos.

Por otra parte, el conjunto de p variables {X_i} pueden ser consideradas como vectores generadores del subespacio vectorial V del espacio vectorial de variables aleatorias L², y constituyen una base no ortogonal de V, por lo que su dimensión viene dada por el rango del sistema generador, siendo <=p.

Todo vector de V puede expresarse como una combinación lineal de los vectores generadores, es decir,

Al subespacio vectorial V lo llamamos el subespacio de las variables. El producto escalar en el espacio de las variables viene dado por

Nótese que para distinguir a los vectores de los distintos espacios vectoriales hemos optado por designar con minúsculas a los vectores-sujeto y con mayúsculas a los vectores-variable, así, designa un vector del espacio de los sujetos, y un vector del subespacio de las variables. Cuando nos referimos a un vector-variable en su calidad de variable exclusivamente, omitimos.

Para simplificar el análisis, es necesario que las variables estén centradas, es decir, E[X_j] = 0. Con ello, no se altera la forma del objeto, ni las relaciones que en él se dan. Si las variables de los datos de partida no están centradas deberemos proceder a centrarlas. La media de cada variable es

entonces la variable centrada será

En primer lugar, definimos la aplicación F del espacio de los sujetos R^p, al subespacio de las variables V, de modo que

donde

es decir, a cada vector del espacio de los sujetos, le corresponde un vector del subespacio de las variables, formado por la combinación lineal de los vectores generadores, ponderados por las componentes escalares {u_i} que definen al vector en su base canónica.

Nótese que, según la aplicación definida,

es decir, al conjunto de vectores de la base canónica de R^p, le corresponde el conjunto de vectores generadores del subespacio de las variables.

La condición de variables centradas se mantiene para cualquier vector de V, puesto que

Definimos la forma bilineal Gde R^pxR^p en R por:

El escalar l_i es el valor propio de G asociado al vector propio , y el conjunto de los valores propios {l_i} definen la matriz diagonal equivalente a la matriz G.