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Apuntes de análisis y cálculo. E. Barrull, 1994.
Integrales[Aunque será necesario definirla de forma esencialmente complicada, la integral viene a formalizar un concepto sencillo, intuitivo: el de área. Ahora ya no nos debe causar sorpresa el encontrarnos con que la definición de un concepto intuitivo puede presentar grandes dificultades y ciertamente el 'área' no es ninguna excepción a esto... En este capítulo intentaremos solamente definir el área de algunas regiones muy especiales (figura 1): aquellas que están limitadas por el eje horizontal, las verticales por (a, 0) y (b, 0), y la gráfica de una función f tal que f (x) ³ 0, para todo x de [a, b]. Conviene denotar esta región por R(f, a, b) ...
El número que asignaremos eventualmente como área de R(f, a, b) recibirá el nombre de integral de f sobre [a, b]. En realidad, la integral se definirá también para funciones f que no satisfacen la condición f (x) ³ 0, para todo x de [a, b]. Si f es la función dibujada en la figura 2, la integral representará la diferencia entre las áreas de las regiones de sombreado claro y de sombreado fuerte ('área algebráica' de R(f, a, b)). (Spivak, 317-8)] [Supongamos que una curva situada por encima del eje x representa la gráfica de la función y = f (x). Intentemos encontrar el área S de la superficie limitada por la curva y = f (x), el eje x y las rectas que, pasando por los puntos x = a y x = b, son paralelas al eje y.
Figura 24. Para resolver este problema se procede como sigue. Dividimos el intervalo [a, b] en n partes, no necesariamente iguales. Notamos la longitud de la primera parte por Dx1, la de la segunda por Dx2, y así sucesivamente hasta la última, Dxn. En cada parte elegimos los números x1, x2, ..., xn, y escribimos la suma
Sn es evidentemente igual a la suma de las áreas de los rectángulos de la figura 24. Cuanto más fina sea la subdivisión del segmento [a, b], más próxima se hallará Sn al área S. Si consideramos una sucesión de tales valores por división del intervalo [a, b] en partes cada vez más pequeñas, entonces la suma Sn tenderá a S. La posibilidad de dividir el intervalo [a, b] en partes desiguales exige definir lo que entendemos por subdivisiones 'cada vez más pequeñas'. Suponemos no sólo que n crece indefinidamente, sino también que la longitud del mayor Dxi en la n-ésima subdivisión tiende a cero. Así:
El cálculo del área buscada se ha reducido a calcular el límite (29)..., hemos obtenido una definición rigurosa del concepto de área: es el límite (29). (Aleksandrov, 1, 163-4)] Integral definida[El límite (29) se llama integral definida de la función f (x) en el intervalo [a, b], y se nota por
La expresión f (x)dx se llama integrando; a y b son los límites de integración; a es el límite inferior, y b, el límite superior. (Aleksandrov, 1, 166)] Primer teorema fundamental del cálculo infinitesimal[Sea f integrable sobre [a, b] y defínase F sobre [a, b] por
Si f es continua en c de [a, b], entonces F es derivable en c, y
(Spivak, 357)] [Una tal función f (x) se llama primitiva de f (x). (Aleksandrov, 1, 168)] [..., el teorema 1 es interesante en extremo cuando f es continua en todos los puntos de [a, b]. En este caso F es derivable en todos los puntos de [a, b] y F' = f ..., si f es continua ..., f es la derivada de alguna función, a saber, la función
(Spivak, 361)] Segundo teorema fundamental del cálculo infinitesimal[Si f es integrable sobre [a, b] y f = F' para alguna función F, entonces
(Spivak, 363)] [Esta igualdad es la famosa fórmula de Newton y Leibnitz, que reduce el problema de calcular la integral definida de una función a la obtención de una primitiva de la misma, y constituye así un enlace entre el cálculo diferencial y el integral. Muchos de los problemas concretos estudiados por los más grandes matemáticos se resuelven automáticamente con esta fórmula, que establece sencillamente que la integral definida de la función f (x) en el intervalo [a, b] es igual a la diferencia entre los valores de cualquiera de sus primitivas en los extremos superior e inferior del intervalo. La diferencia (30) se acostumbra a escribir así:
Ejemplo: La igualdad
muestra que la función x3/3 es una primitiva de la función x2. Así, por la fórmula de Newton y Leibnitz,
(Aleksandrov, 1, 169)] Propiedades de la integral definida[Si f (x) y g(x) son continuas en el intervalo de integración [a, b]:
Ejemplos [1.
Sea f (x) = c, una constante, y f (x) =
cx; tendremos
2.
Sea f (x) = x y f (x) = 1/2 x2;
tendremos
3.
Sea f (x) = x3 y f (x) = 1/4 x4; tendremos
(Ayres, 163)] {Véanse más problemas en (Ayres, 167ss)} Integrales indefinidas; técnica de integración.[Una función f (x) cuya derivada, en un cierto intervalo del eje x, F'(x) = f (x), decimos que f (x) es la primitiva o integral indefinida de f (x). La integral indefinida de una función no es única;... Todas las primitivas de f (x) =2x están representadas por la expresión x2 + C, en la que C es una constante cualquiera y que se denomina constante de integración. La primitiva o integral indefinida de la función f (x) se representa por medio del símbolo
Por ejemplo:
Fórmulas fundamentales de integración{Véase (Ayres, 129ss)} Funciones de varias variables[Si a cada punto (x, y) de una región del plano xy se la hace corresponder un número real z, diremos que z es una función, z = f (x, y), de las variables independientes x e y. El lugar geométrico de todos los puntos (x, y, z) que satisfacen la ecuación z = f (x, y) es una superficie. Análogamente se definen las funciones w = f (x, y, z, ...) de varias variables independientes aunque no tengan una interpretación geométrica sencilla. El estudio de las funciones de dos variables difiere notablemente del de las funciones de una variable. Sin embargo, el cálculo de las funciones de tres o más variables es muy similar al caso de dos variables. (Ayres, 258)] Límite de una función de dos variables[Una función f (x, y) tiende al límite
A cuando
se verifica:
Continuidad de una función de dos variables[Una función f (x, y) es continua en el punto (x0, y0) siempre que f (x0, y0) esté definida y, además,
(Ayres, 258)] Derivadas parciales de una función de dos variables[Sea z = f (x, y) una función de las variables independientes x e y. Como x e y son independientes, podremos (i) variar x manteniendo constante y y, (ii) variar y manteniendo constante x, (iii) variar x e y simultáneamente. En los dos primeros casos, z es una función de una sola variable y se puede hallar su derivada de acuerdo con las expresiones clásicas que ya hemos visto. Si x varía permaneciendo constante y, z es una función de x y su derivada con respecto a esta variable x,
se denomina primera derivada parcial de z = f (x, y) con respecto a x. Si lo que varía es y permaneciendo constante x, z es una función de y y su derivada con respecto a y
recibe el nombre de primera derivada parcial de z = f (x, y) con respecto a y... Las derivadas parciales anteriores admiten una interpretación geométrica muy sencilla. Consideremos la superficie z = f (x, y) de la Fig. 56-1, y sean APB y CPB las intersecciones con dicha superficie de los planos que pasando por P sean paralelos a los xOz e yOz, respectivamente. Si hacemos variar a x permaneciendo constante y, el punto P se desplazará a lo largo de la curva APB y el valor de dz/dx en el punto P es la pendiente de la curva APB en P.
Análogamente, si hacemos variar y permaneciendo constante x, P se moverá a lo largo de la curva CPD, y el valor de dz/dx en P es la pendiente de la curva CPD en P. (Ayres, 258-9)]
BibliografíaSpivak, M., (1975): Calculus. Tomo 1. Barcelona: Reverté. Aleksandrov, A.D., Kolmogorov, A.N., Laurentiev, M.A., et al., (1985): La Matemática: su contenido, métodos y significado. 3 vols., Madrid: Alianza. Ayres, F. Jr., (): Cálculo Diferencial e Integral. México: McGraw-Hill. | ||||||||||||||||||||||||||
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,
siendo c una constante
,
cuando a < c < b
,
para al menos un valor x =
x0 entre a y b.
, se verifica
.
. (Ayres, 129)]
e
, si dado un
e
> 0
tan pequeño como queramos, existe un
d
> 0 tal que, para todos los pares de valores (x, y) que cumplan la desigualdad
. La condición (i) representa un intervalo reducido del punto (x0,
y0), es decir, todos los puntos excepto el propio (x0,
y0), situados en un círculo de radio
d y centro (x0,
y0). (Ayres, 258)]
