Apuntes de análisis y cálculo. E. Barrull, 1994.
- Derivadas
- Incrementos
- Pendiente
- Definición
- Formulas de derivación
- Derivada segunda
- Máximos y mínimos
- La diferencial de una
función
Derivadas
[El conjunto de todas las funciones presenta una diversidad tal
que es casi imposible descubrir propiedades generales interesantes que convengan
a todas ellas. Puesto que las funciones continuas constituyen una clase
restringida, cabría esperar que se hallaran algunos teoremas no triviales para
ellas... Pero los resultados más interesantes y más penetrantes acerca de
funciones sólo se obtendrán cuando limitemos aún más nuestra atención a
funciones que tienen mayor derecho aún a recibir el nombre de 'razonables', con
un comportamiento aún más regular que la mayor parte de las funciones
continuas. (Spivak, 181-2)]
Incrementos
[El incremento Dx de una variable
x es el aumento o disminución que experimenta, desde un valor
x
= x0 a otro x = x1 de su campo de variación. Así, pues,
o bien
Si se da un incremento Dx
a la variable x, (es decir, si x pasa de
x = x0 a x = x0 +
Dx), la función y =
f (x) se verá
incrementada en Dy =
f (x0 + Dx) -
f (x0) a partir del valor y =
f (x0).
El cociente
recibe el nombre de cociente medio de incrementos de la función
en el intervalo comprendido entre x = x0 a
x = x0 + Dx. (Ayres, 22)]
Pendiente
[Si h ¹
0, entonces los dos puntos distintos (a, f (a)) y
(a+h, f (a+h)) determinan, como
en la figura 6, una recta cuya pendiente es
Figura 6.
Como indica la figura 7, la 'tangente' en (a,
f (a)) parece ser
el límite, en algún sentido, de estas 'secantes', cuando h se aproxima a
0.
Hasta aquí no hemos hablado nunca del 'límite' de rectas, pero podemos
hablar del límite de sus pendientes: La pendiente de la tangente (a,
f (a))
debería ser
Figura 7.
(Spivak, 183-4)]
Definición
[La función f es derivable en
a si
existe.
En este caso el límite se designa por f' (a) y recibe el
nombre de derivada de f en
a. (Decimos también que f es derivable
si f es derivable en a para todo
a del dominio de f.)
Definimos la tangente a la gráfica de f en
(a, f (a))
como la recta que pasa por (a, f (a)) y tiene por pendiente
f' (a). Esto quiere
decir que la tangente en (a, f (a)) sólo está definida si
f es derivable en a.
(Spivak, 185)]
[Para una función dada f, la derivada
f' se designa a menudo
por
No hace falta decir que las distintas partes de esta expresión
carecen de todo significado cuando se consideran separadamente; las d no
son números, no pueden simplificarse, y la expresión completa no
es el cociente de otros dos números 'df (x)' y
'dx'. Esta notación se debe a
Leibniz (generalmente considerado como el codescubridor independiente del cálculo
infinitesimal junto con Newton) y es llamada afectivamente notación de Leibniz.
Leibniz llegó a este símbolo a través de su noción
intuitiva de la derivada, que él consideraba no como el límite de los
cocientes (f (a+h)-f (a))/h, sino como el 'valor' de este cociente cuando
h es un
número 'infinitamente pequeño'. Esta cantidad 'infinitamente pequeña' fue
designada por dx y la correspondiente diferencia 'infinitamente pequeña'
f (x+dx)-f (x) por df (x). Aunque es imposible reconciliar este punto de
vista con las propiedades de los números reales, algunos encuentran simpática
esta noción de la derivada. (Spivak, 190-1)]
[La derivada de y = f (x) con respecto a
x se puede representar
por uno cualquiera de los símbolos
(Ayres, 23)]
{En otras palabras, la derivada de una función en un punto nos
da la pendiente de la tangente de dicha función en ese punto}
Fórmulas de derivación
[En las fórmulas siguientes u, v y
w son funciones derivables
de x.
(Ayres, 28ss)]
{Véanse ejemplos de derivadas en (Ayres, 30ss)}
Derivada segunda
[Para una función cualquiera f, al tomar la derivada,
obtenemos una nueva función f' (cuyo dominio puede ser considerablemente más
pequeño que el de f ). La noción de derivabilidad puede aplicarse a la función
f', por supuesto, dando lugar a otra función
(f' )', cuyo dominio consiste en
todos los punta a tales que f' es derivable en
a. La función (f'
)' se suele
escribir por lo general simplemente f'' y recibe el nombre de derivada
segunda de f. Si f''
(a) existe, entonces se dice que
f es dos veces
derivable en a, y el número f''
(a) recibe el nombre de derivada segunda de
f
en a...
No existe razón alguna para detenerse en la derivada segunda;
podemos definir f''' = (f'' )', f'''' =
(f''' )', etc. Esta notación se hace
pronto difícil de manejar, por lo que se suele adoptar la siguiente abreviación
(se trata en realidad de una definición recursiva):
Las distintas funciones f (k),
para k ³
2, son a veces llamadas derivadas de orden superior de
f... De
hecho, se puede dar una definición para f
(0), a saber,
Debemos mencionar también la notación de Leibniz para las
derivadas de órdenes superiores. El símbolo natural de Leibniz para f''
(x), a
saber,
,
se abrevia poniendo
, o más frecuentemente 
.
Una notación parecida se usa para f (n)(x). (Spivak, 201-2)]
Máximos y mínimos
[Si f'(a) > 0, la función f(x) es creciente en el
punto x = a y si f'(a)
<
0, es decreciente en dicho punto. Cuando
f'(a) = 0, diremos que la función es estacionaria en el punto
x = a.
Una función y = f(x) tiene un máximo (mínimo) relativo
en un punto x = a, cuando f(a) es mayor (menor) que los valores de la función
para los puntos inmediatamente anteriores y posteriores al considerado. (Ayres,
42)]
La diferencial de una función
[La diferencial de una función surgió históricamente del
concepto de 'indivisible'. Este concepto, que desde un punto de vista moderno
nunca estuvo muy claramente definido, era en su tiempo (en el siglo XVIII)
fundamental en el análisis matemático. Las ideas referentes a él sufrieron
cambios esenciales en el transcurso de varios siglos. Los indivisibles, y más
tarde la diferencial de una función, se representaban como verdaderos infinitésimos,
como algo de magnitud constante extremadamente pequeña, que sin embargo no era
cero. La definición dada en esta sección es la aceptada en el análisis
moderno. De acuerdo con esta definición, la diferencial es una magnitud finita
para cada incremento Dx,
y al mismo tiempo proporcional a Dx.
La otra propiedad fundamental de la diferencial, el carácter de su diferencia
respecto a Dy, sólo
puede reconocerse 'en movimiento', por así decirlo: si consideramos un
incremento Dx que se aproxima
a cero (que sea un infinitésimo), entonces la diferencia entre dy e
Dy será tan pequeña como se desee incluso
comparada con Dx.
Esta sustitución de los incrementos pequeños de la función
por la diferencial forma la base de la mayoría de las aplicaciones del análisis
infinitesimal al estudio de la naturaleza. El lector verá esto de un modo
particularmente claro en el caso de las ecuaciones diferenciales. (Aleksandrov,
1, 152)]
[Dada la función y = f(x) se define:
| (a) |
dx, leído diferencial de x, por la relación
dx = Dx. |
| (b) |
dy, leído diferencial de y, por la relación
dy = f'(x)dx. |
La diferencial de una variable independiente es, por definición,
el incremento que experimenta; sin embargo, la diferencial de una variable
dependiente o función no es igual a su incremento. (ver fig. 23-1)
Fig. 23-1
Si dx = Dx
es relativamente pequeño con respecto a x, el valor de
Dy se puede obtener aproximadamente hallando
dy. (Ayres, 119)]
, siendo c una constante.
