Apuntes de mecánica clásica, E. Barrull (1994)

Energía

[La energía es una abstracción matemática que no tiene existencia aparte de su relación funcional con variables y coordenadas que tienen una interpretación física y que pueden medirse. (Abbott y Vanness, 1)]

Energía cinética

[De la ec. (7.27) se deduce que la fuerza tangencial es F_T = mdv/dt. Por tanto

ya que v = ds/dt, según la ec. (5.23). Por consiguiente la integral que aparece en la ec. (8.5) representando el trabajo total es

donde v_B es la velocidad de la partícula en B y v_A la velocidad de la partícula en A. El resultado (8.11) indica que cualquiera que sea la forma funcional de la fuerza F y la trayectoria seguida por la partícula, el valor del trabajo W efectuado por la fuerza es siempre igual a la diferencia entre las magnitudes de evaluadas al final y al comienzo de la trayectoria. Esta importante magnitud, llamada energía cinética, se designa por E_k. Por consiguiente

pues p = mv. La ec. (8.11) puede expresarse entonces en la forma

que en palabras puede traducirse así:

el trabajo efectuado sobre una partícula es igual al cambio producido en su energía cinética,

y que es un resultado de validez general, cualquiera que sea la naturaleza de la fuerza...

El resultado (8.13), que relaciona el cambio de la energía cinética E_k de una partícula con el trabajo W efectuado por la fuerza, se parece mucho a la ec. (8.1), que relaciona el cambio de momentum p de una partícula con el impulso I de la fuerza. La diferencia consiste en que el impulso, siendo una integral de tiempo, es útil solamente si conocemos la fuerza de función del tiempo. Pero el trabajo, siendo una integral de espacio, puede computarse fácilmente si conocemos la fuerza en función de la distancia. Generalmente se conoce la fuerza en función de la posición, y es por esta razón que los conceptos de trabajo y energía juegan un papel tan importante en física. (Alonso y Finn, 1, 209-210)]

[La ecuación (8.13) es una expresión perfectamente general para el trabajo mecánico total efectuado por el cuerpo rígido en traslación, y la ecuación no se basa en suposiciones con respecto a la naturaleza de la fuerza F. (Äbbott y Vanness, 20)]

Energía potencial

[Una fuerza es conservativa si su dependencia del vector posición r o de las coordenadas x, y, z de la partícula es tal que el trabajo W puede ser expresado como la diferencia entre los valores de una cantidad E_p(x,y,z) evaluada en los puntos inicial y final. La cantidad E_p(x,y,z) se llama energía potencial, y es una función de las coordenadas de las partículas. Luego, si F es una fuerza conservativa,

Obsérvese que escribimos E_p,A - E_p,B y no E_p,B - E_p,A; esto es, el trabajo efectuado es igual a E_p en el punto inicial menos E_p en el punto final. En otras palabras,

la energía potencial es una función de las coordenadas tal que la diferencia entre sus valores en las posiciones inicial y final es igual al trabajo efectuado sobre la partícula para moverla de su posición inicial a la final.

Estrictamente hablando, la energía potencial E_p debe depender tanto de las coordenadas de la partícula considerada, como de las coordenadas de todas las otras partículas del universo que interactúan con ella. Sin embargo, como mencionamos en el capítulo 7 cuando tratábamos de la dinámica de una partícula, suponemos el resto del universo esencialmente fijo, y así solamente las coordenadas de la partícula considerada aparecen en E_p.

El estudiante debe notar, comparando la ec. (8.17) con la expresión de la energía cinética (8.12), que la ec. (8.12) es válida en general no importando de qué fuerza F se trate. Siempre se cumple que E_k = 1/2mv², mientras que la forma de la función E_p(x,y,z) depende de la naturaleza de la fuerza F, y no todas las fuerzas pueden satisfacer la condición establecida por la ec. (8.17). Sólo aquellas que la satisfagan se llaman conservativas...

En la definición de la energía potencial siempre interviene una constante arbitraria, ... Gracias a esta arbitrariedad, podemos definir el nivel de referencia más conveniente, y por ello la energía potencial debida a la gravedad es tomada como nula en la superficie terrestre. Para un satélite natural o artificial, se define la energía potencial de modo que sea cero a distancia infinita.

el trabajo efectuado por las fuerzas conservativas es independiente de la trayectoria.

...

Para satisfacer la ec. (8.17) es necesario que

porque entonces

de acuerdo con la ec. (8.17).

..., podemos escribir en lugar de la ec. (8.21)

..., F_T es la componente de la fuerza a lo largo de la dirección del desplazamiento ds; por tanto, si conocemos E_p(x, y, z), podemos obtener la componente de F en cualquier dirección computando la cantidad -dE_p/ds, que es la derivada de E_p en aquella dirección, con signo negativo.  Esto es lo que se llama la derivada direccional de E_p. Cuando un vector es tal que su componente en una dirección es igual a la derivada direccional de una función es aquella dirección, el vector se llama el gradiente de la función. (Alonso y Finn, 1, 213-6)]

[Suponemos aquí que las fuerzas son conservativas; entonces E_p(r) será una función escalar de posición, unívoca y E_p(B) - E_p(A) será igual al aumento de la energía cinética de la partícula al regresar de B a A al cesar de actuar la fuerza aplicada. (Berkeley, 1, 147)]

[En una dimensión

de donde se obtiene por derivación

La ecuación (46) es un ejemplo del resultado general de que la fuerza aplicada representa la variación de la energía potencial por unidad de longitud. (Berkeley, 1, 150-151)]

{El signo de la fuerza es una cuestión de convenio. Así, cuando la fuerza aumenta la energía potencial se considera positiva y cuando disminuye la energía potencial se considera negativa: la fuerza de la gravedad es negativa y la fuerza de oposición a la gravedad (del suelo o de un organismo) es positiva.}

[Problema 1.11  Con la aplicación de la segunda ley de Newton a la traslación de un cuerpo rígido, ilustre el origen de los términos energía potencial y cinética en la ecuación de energía para un sistema puramente mecánico.

La segunda ley de Newton para este sistema es:

donde v es la velocidad del cuerpo y F es la fuerza total externa que actúa sobre el cuerpo paralela a su desplazamiento dl. El trabajo total efectuado por el cuerpo contra la fuerza es entonces:

Con la sustitución de (1) en (2), se obtiene:

o

La ecuación (3) es una expresión perfectamente general para el trabajo mecánico total efectuado por el cuerpo rígido en traslación, y la ecuación no se basa en suposiciones con respecto a la naturaleza de la fuerza F. Sin embargo, F se considera convenientemente como la suma de dos tipos de fuerzas, fuerzas de cuerpo F_B y fuerzas superficiales F_S.

Las fuerzas de cuerpo se llaman así porque actúan en todo el volumen de un sistema; las fuerzas superficiales actúan sobre un área de la superficie limitante de un sistema. Por (2) y (4), entonces, el trabajo total puede considerarse:

Donde

Las fuerzas de cuerpo son fuerzas conservativas. Esto significa que se pueden derivar de una función potencial V(l), la cual depende sólo de la ubicación del sistema, por medio de diferenciación con respecto a la coordenada de posición. Así, para el siguiente caso:

Al sustituir (8) en (6), se obtiene:

Puesto que la diferencia DV depende únicamente de las posiciones inicial y final del sistema y no de la trayectoria seguida entre estas posiciones, el trabajo efectuado contra las fuerzas de cuerpo es independiente de la trayectoria. Si se define la energía potencial E_p como E_p º V, se puede escribir (9) como

Las fuerzas superficiales (por ejemplo, la fricción) son, en general, no conservativas y usualmente se escriben expresiones como (7) para el trabajo efectuado contra tales fuerzas. La combinación de (5) y (10) da

La ecuación (11) es una alternativa de (3) y las dos ecuaciones pueden aplicarse al mismo proceso. Haciendo esto y reacomodando, se obtiene la ecuación de energía

Cuando no hay fuerzas superficiales (12) se reduce a

DE_k + DE_p = 0           o            E_k +

la cual es el muy conocido 'principio de conservación de energía' de la mecánica clásica.

El término trabajo en la primera ley de la termodinámica, por lo general, representa el trabajo efectuado por las fuerzas superficiales y el sistema termodinámico común, no es, por supuesto, un cuerpo rígido. (Abbott y Vanness, 20-21)]

La función fuerza

[La función fuerza F(x) da la fuerza que sobre la partícula ejerce su ambiente en cada punto x; así pues, podemos decir que la función fuerza describe la interacción mecánica de la partícula con el medio que la rodea. Esta interacción también puede describirse mediante la función potencial V(x) la cual, por definición, es aquella función cuya derivada respecto a x, cambiada de signo, nos da la función fuerza:

Aun cuando es posible considerar fuerzas que no puedan derivar de ninguna función V(x), según la definición (3.2) (por ejemplo, una fuerza de rozamiento, la cual no sólo depende de x, sino también de la dirección y sentido del movimiento), lo que hemos estipulado al principio de que el campo de fuerzas sea conservativo significa, precisamente, que existe una V(x) definida por (3.2). En consecuencia, en los sistemas que nos interesan da lo mismo describir la interacción entre la partícula y el medio que la rodea especificando F(x) que especificando V(x), ya que si conocemos una de estas funciones podemos hallar la otra mediante la relación (3.2).

Fig. (Gillespie, 35)

Así pues, la fuerza F(x) siempre tiende a mover la partícula en un sentido que dé origen a una disminución de V(x); es más, la relación (3.2) nos dice que la intensidad o magnitud de esta fuerza en un punto dado es igual a la disminución de V(x) por unidad de longitud en dicho punto. Podemos, pues, considerar la gráfica de V(x) como una especie de 'terreno montañoso' por el cual ruede la partícula bajo la influencia de una fuerza pseudogravitatoria. (Gillespie, 29-30)]

[Los gráficos que representan E_p(x) contra x en problemas rectilíneos de una sola dimensión son muy útiles para ayudar a comprender el movimiento de una partícula, ... aún sin resolver la ecuación del movimiento. En la fig. 8-18 {véase la figura anterior de Gillespie} hemos ilustrado una posible curva de energía potencial para un movimiento unidimensional... la fuerza sobre la partícula para cualquier valor de x está dada por

Pero dE_p/dx es la pendiente de la curva E_p(x)... En los puntos donde la energía potencial es mínima o máxima, ..., F = 0; esto es, tales posiciones son de equilibrio. Aquellas posiciones donde Ep(x) es mínima el equilibrio es estable... Donde Ep(x) es máxima, el equilibrio es inestable... (Alonso y Finn, 1, 224-5)]

[El programa básico de la Mecánica, tanto clásica como cuántica, tiene dos aspectos: Primeramente, hemos de decidir cómo especificamos el estado instantáneo de un sistema mecánico dado y luego debemos descubrir cómo evoluciona con el tiempo dicho estado. (Gillespie, 30)]

Principio de conservación de la energía

[Cuando la fuerza que actúa en una partícula es conservativa, se puede combinar la ec. (8.17) con la ecuación general (8.13), lo que nos da E_k,B - E_k,A = E_p,A - E_p,B o sea

La cantidad E_k + E_p es llamada la energía total de la partícula y designada por E; esto es, la energía total de una partícula es igual a la suma de su energía cinética y su energía potencial, o sea

La ec. (8.27) indica que

cuando las fuerzas son conservativas la energía total E de la partícula permanece constante.

ya que los estados designados por A y B son arbitrarios. Así, es posible escribir para cualquier posición de la partícula,

En otras palabras, la energía de la partícula se conserva. (Alonso y Finn, 1, 219)]

[En el caso general del movimiento rectilíneo la energía potencial depende solamente de una coordenada, digamos x, y la ec. (8.28) para la conservación de la energía es

donde E, la energía total, es una constante. (Alonso y Finn, 1, 220-1)]

Fuerzas conservativas y no conservativas

[Una fuerza es conservativa si el trabajo que realizan al mover una partícula desde A a B es independiente de la trayectoria que recorre la partícula al ir de A a B. Así pues, como , resulta que si la partícula se mueve a lo largo de una trayectoria cerrada el trabajo realizado por una fuerza conservativa es cero. (Berkeley, 1, 145)]

[Supongamos que la fuerza depende de la velocidad con que se recorre la trayectoria. (La fuerza que actúa sobre una partícula cargada en un campo magnético depende de su velocidad). ¿Puede ser conservativa una fuerza de este tipo? Resulta que las fuerzas fundamentales importantes que dependen de la velocidad son conservativas porque su dirección es perpendicular a la del movimiento de la partícula, de modo que es cero... Las fuerzas de rozamiento no son realmente fuerzas fundamentales, sino que son dependientes de la velocidad y no son conservativas... Se sabe experimentalmente que es independiente de la trayectoria para las fuerzas gravitatorias y para las electrostáticas. (Berkeley, 1, 146)]

Fuerzas no conservativas

[Es fácil encontrar fuerzas en la naturaleza que no son conservativas. Un ejemplo de ellas es la fricción. La fricción siempre se opone al desplazamiento. Su trabajo depende de la trayectoria seguida y, aunque la trayectoria pueda se cerrada, el trabajo no es nulo... Similarmente, la fricción en los fluidos se opone a la velocidad, y su valor depende de ésta mas no de la posición. Una partícula puede estar sujeta a fuerzas conservativas y no conservativas al mismo tiempo.

Por ejemplo, una partícula que cae en un fluido está sujeta a la fuerza gravitacional conservativa y a la fuerza de fricción no conservativa. Llamando E_p a la energía potencial correspondiente a las fuerzas conservativas y W' al trabajo hecho por las fuerzas no conservativas (trabajo que, en general, es negativo porque las fuerzas de fricción se oponen al movimiento), el trabajo total hecho en la partícula al moverse de A a B es W = E_p,A - E_p,B +W'. Usando la ec. (8.13), podemos escribir

o

En este caso la cantidad E_k+E_p no permanece constante sino decrece (aumenta) si W' es negativo (positivo). Pero por otra parte, no podemos llamar a E_k+E_p la energía total de la partícula, porque este concepto no es aplicable en este caso, ya que no incluye todas las fuerzas presentes. El concepto de energía total de una partícula tiene significado sólo si todas las fuerzas son conservativas. Sin embargo la ec. (8.44) es útil cuando queremos efectuar una comparación entre el caso en que actúan solamente las fuerzas conservativas (de manera que E_k+E_p sea la energía total) y el caso en que hay fuerzas no conservativas adicionales. Entonces decimos que la ec. (8.44) da la ganancia o la pérdida de energía debida a las fuerzas no conservativas.

El trabajo no conservativo W' representa así una transferencia de energía que, al corresponder a un movimiento molecular, es en general irreversible. La razón para no poder ser recobrado es la dificultad, aun dentro de un punto de vista estadístico, de volver todos los movimientos moleculares al estado inicial. En algunos casos, sin embargo, los movimientos moleculares pueden estadísticamente ser devueltos a las condiciones originales. Esto es, aun si el estado final no es microscópicamente idéntico al inicial, son estadísticamente equivalentes. Este es el caso, por ejemplo, de un gas que se expande muy lentamente mientras hace trabajo. Si después de la expansión el gas es comprimido lentamente a su condición física original, el estado final es estadísticamente equivalente al inicial. El trabajo efectuado durante la compresión es el negativo del trabajo de expansión y el trabajo total es por tanto cero.

La existencia de fuerzas no conservativas tal como la fricción no debe ser considerada como implicando necesariamente que puedan existir interacciones no conservativas entre partículas fundamentales. Debemos recordar que las fuerzas de fricción no corresponden a una interacción entro dos partículas sino que son conceptos realmente estadísticos. La fricción, por ejemplo, es el resultado de muchas interacciones individuales entre las moléculas de los dos cuerpos en contacto. Cada una de estas interacciones puede ser expresada por una fuerza conservativa. Sin embargo, el efecto macroscópico no es conservativo {mecánicamente} por el siguiente motivo: aunque el cuerpo, al completar una órbita cerrada, está macroscópicamente en su posición original, las moléculas individuales no han retornado a su condición original. Por consiguiente, el estado final no es microscópicamente idéntico al inicial, ni tampoco equivalente en un sentido estadístico. (Alonso y Finn, 1, 228-230)]

Rozamiento

[las fuerzas de rozamiento parecen no ser conservativas en un sentido limitado. Dos cuerpos pueden chocar inelásticamente de modo que parte de la energía cinética se disipa internamente en los cuerpos en forma de calor. Naturalmente, si las fuerzas fundamentales son conservativas, entonces todo el movimiento debe ser conservativo si se analiza con suficiente detalle. El rozamiento es, pues, asunto de contabilidad. Si parte de la energía se transforma en algo que no nos es útil, lo podemos llamar rozamiento. (Berkeley, 1, 147)]

Crítica del concepto de energía

[En este capítulo hemos visto cómo podemos usar el concepto de energía de manera muy efectiva para resolver ciertos problemas dinámicos de una partícula cuando conocemos la fuerza en función de la posición. Esta es una de las razones básicas para introducir el concepto de energía en física.

Nuestra experiencia inmediata nos lleva a reconocer que los cuerpos a nuestro alrededor están en movimiento. Atribuimos dichos movimientos a las interacciones entre los cuerpos, y los describimos por medio de los conceptos de fuerza y energía. Tales conceptos tienen un solo propósito: proporcionar métodos útiles para analizar y predecir los movimientos que observamos. La gran utilidad del concepto de energía potencial, como la del concepto de fuerza, es que nos permite asociar formas específicas de energía potencial con interacciones específicas observadas en la naturaleza. Tal resultado no es sorprendente, ya que la fuerza F está relacionada con la energía potencial Ep por medio de . Es dicha relación entre energía potencial e interacción lo que da verdaderamente significado físico a la idea de energía potencial... En futuros capítulos discutiremos el hecho de que la interacción entre dos cuerpos puede ser descrita como un intercambio de energía o como un intercambio de momentum. Cualquiera de tales descripciones proporciona una representación conveniente y útil de una interacción. (Alonso y Finn, 1, 232-3)]