Apuntes de mecánica clásica, E. Barrull (1994)

3 Dinámica de un sistema de partículas

[En los dos últimos capítulos hemos discutido la teoría de la dinámica de una partícula. En dicha teoría, ignoramos el resto del universo y lo representamos ya sea por una fuerza o por una energía potencial, que dependen solamente de las coordenadas de la partícula. Consideremos ahora el problema más realista e importante de varias partículas... A lo largo de este capítulo supondremos que las masas de las partículas son constantes. (Alonso y Finn, 1, 241)]

Principio de conservación del momentum

[el principio de la conservación del momentum en su forma general dice

el momentum total de un sistema aislado de partículas es constante.

No se conocen excepciones a este principio general de conservación del momentum. Por el contrario, cuando parece que hay una violación de este principio en un experimento, el físico inmediatamente busca alguna partícula desconocida o que no ha notado y la cual puede ser la causa de la aparente falta de conservación del momentum. Es esta búsqueda la que ha dado lugar a que los físicos identifiquen el neutrón, el neutrino, el fotón, y muchas otras partículas elementales.

La conservación del momentum puede expresarse matemáticamente escribiendo la siguiente ecuación:

la cual implica que, en un sistema aislado, el cambio en el momentum de una partícula durante un intervalo particular de tiempo es igual y opuesto al cambio en el momentum del resto del sistema durante el mismo intervalo de tiempo...

Para el caso particular de dos partículas

..., llamando p' - p = Dp el cambio en el momentum entre los tiempos t y t', podemos escribir

Este resultado indica que, para dos partículas interactuantes, el cambio en el momentum de una partícula en un cierto intervalo de tiempo es igual y opuesto al cambio en el momentum de la otra durante el mismo intervalo de tiempo. Por lo tanto, el resultado anterior puede expresarse igualmente diciendo que

una interacción produce un intercambio de momentum,

de manera que el momentum "perdido" por una de las partículas interactuantes es igual al momentum "ganado" por la otra partícula. (Alonso y Finn, 1, 160-161)]

[La ley de inercia es justamente un caso particular del principio de conservación del momentum. Como tenemos solamente una partícula aislada en lugar de varias, la ec. (7.4), tiene solamente un término por lo que p = constante o lo que es lo mismo, v = constante (si la masa permanece constante), lo cual es una expresión de la ley de inercia. (Alonso y Finn, 1, 161)]

Ley de la acción y reacción (Tercera ley de Newton)

[La ec. (7.8) relaciona el cambio de momentum de las partículas 1 y 2 durante el intervalo de tiempo Dt = t' - t. Dividiendo ambos lados de esta ecuación entre Dt, podemos escribir

Si hacemos Dt muy pequeño, vale decir, si encontramos el límite de la ec. (7.10) cuando Dt ® 0, obtenemos

de modo que las variaciones (vectoriales) instantáneas del momentum de las partículas, en cualquier instante t, son iguales y opuestas (principio de conservación del momentum)...

Utilizando el concepto de fuerza, podemos escribir la ec. (7.11) en la forma

Luego llegamos a la conclusión que

cuando dos partículas interactúan, la fuerza sobre una partícula es igual y opuesta a la fuerza sobre la otra.

Esta es la tercera ley del movimiento de Newton, nuevamente una consecuencia de la definición de fuerza y el principio de conservación del momentum. Se le denomina algunas veces como la ley de la acción y reacción. (Alonso y Finn, 1, 163-164)]

Trabajo y energía cinética de un sistema de partículas

[Consideremos un sistema compuesto de dos partículas de masas m₁ y m₂, sujetas a las fuerzas externas F₁ y F₂ y a las fuerzas internas F₁₂ y F₂₁. En un cierto instante las partículas ocupan las posiciones indicadas en la Fig. 9.10, moviéndose con velocidades v₁ y v₂ a lo largo de las trayectorias C₁ y C₂. 

(Alonso y Finn, 1, 255: Fig. 9-10)

La ecuación del movimiento de cada partícula es

... multiplicando ambas ecuaciones por dr_i, ..., sumando dichas ecuaciones y recordando que F₁₂ = -F₂₁..., integrando a partir de un tiempo inicial t₀ hasta un tiempo arbitrario t y designando por A y B la posición de ambas partículas en los tiempos t₀ y t, obtenemos

donde

La primera expresión da el trabajo total W_ext hecho por las fuerzas exteriores durante el mismo intervalo de tiempo, y la segunda expresión da el trabajo W_int hecho por las fuerzas interiores.

La ec. (9.30) se puede expresar diciendo que

el cambio de energía cinética de un sistema de partículas es igual al trabajo efectuado sobre el sistema por las fuerzas exteriores e interiores.

Esta es la extensión natural de nuestro resultado previo para una partícula dado en la ecuación (8.13), y es válido para un sistema compuesto de cualquier número de partículas. (Alonso y Finn, 1, 255-257)]

Conservación de la energía de un sistema de partículas

[Supongamos ahora que las fuerzas internas son conservativas, y que por tanto existe una función E_p,12 dependiente de las coordenadas de m₁ y m₂ tal que

donde E_p,12 se refiere al instante t y E_p,12,0 al instante t₀. Llamaremos a E_p,12 la energía potencial interna del sistema. Si las fuerzas interiores actúan a lo largo de la línea r₁₂ que unen las dos partículas, entonces la energía potencial interna depende solamente de la distancia r₁₂, ... En este caso la energía potencial interna es independiente del sistema de referencia ya que contiene sólo la distancia entre las dos partículas, situación que representa razonablemente bien la mayoría de las interacciones que se encuentran en la naturaleza. Sustituyendo la ec. (9.31) en la ec. (9.30), obtenemos

La cantidad

será llamada la energía propia del sistema. Esta es igual a la suma de las energías cinéticas de las partículas relativas a un observador inercial y su energía potencial interna, la cual, como lo mostramos antes, es (bajo nuestra suposición) independiente del sistema de referencia.

Si en vez de dos partículas tenemos varias, la energía propia es

Sustituyendo la definición (9.33) de la energía propia en la ec. (9.32), obtenemos

lo que establece que

el cambio de la energía propia de un sistema de partículas es igual al trabajo efectuado sobre el sistema por las fuerzas externas.

Este importante enunciado se llama la ley de conservación de la energía. Hasta ahora la ley ha aparecido como una consecuencia del principio de conservación del momentum y la suposición de que las fuerzas interiores son conservativas. Sin embargo, esta ley parece ser verdadera en todos los procesos que observamos en el universo, y por tanto se le concede validez general, más allá de las suposiciones especiales bajo las cuales la hemos derivado. La ec. (9.8) expresa la interacción del sistema con el mundo exterior por medio de su cambio de momentum. La ec. (9.35) expresa la misma interacción por medio del cambio de energía del sistema.

Consideremos ahora un sistema aislado en el cual W_ext = 0, ya que no hay fuerzas exteriores. Entonces U - U₀ = 0 o sea U = U₀. Esto es,

la energía propia de un sistema aislado de partículas permanece constante,

bajo la suposición de que las fuerzas internas son conservativas. Si la energía cinética de un sistema aislado aumenta, su energía potencial interna debe disminuir en la misma cantidad de manera que la suma permanezca igual...

El principio de conservación del momentum, junto con las leyes de la conservación de la energía y del momentum angular, son reglas fundamentales que según parece gobiernan todos los procesos que pueden ocurrir en la naturaleza.

Puede suceder que las fuerzas externas actuantes sobre un sistema sean también conservativas de modo que W_ext se puede escribir como W_ext = E_p,ext,0 - E_p,ext, donde E_p,ext,0 y E_p,ext son los valores de la energía potencial asociada con las fuerzas externas en los estados inicial y final. Entonces la ec. (9.35) se transforma en

U = U₀ = E_p,ext,0 - E_p,ext

La cantidad

se llama la energía total del sistema. Permanece constante durante el movimiento del sistema bajo fuerzas conservativas internas y externas. Este resultado es similar a la ec. (8.29) para una sola partícula...

Dado que la energía cinética depende de la velocidad, el valor de la energía cinética depende del sistema de referencia usado para discutir el movimiento del sistema. Llamaremos energía cinética interna E_k,CM a la energía cinética referida al centro de masa. La energía potencial interna que depende únicamente de la distancia entre las partículas, tiene el mismo valor en todos los sistemas de referencia (como se explicó antes) y, por tanto, definiremos la energía interna del sistema como la suma de las energías cinética y potencial internas.

En el futuro, al tratar de la energía de un sistema de partículas, nos referiremos en general solamente a la energía interna, aun cuando no escribamos el subíndice _CM. (Alonso y Finn, 1, 257-259)]

4. Mecánica estadística (Sistemas con un gran número de partículas)

[El resultado expresado por la ec. (9.35) o su equivalente, la ley de conservación de la energía, al ser aplicado a un sistema compuesto de un número pequeño de partículas, tal como nuestro sistema planetario o un átomo con posos electrones, requiere el cómputo de varios términos que forman la energía interna, de acuerdo con la ec. (9.34). Sin embargo, cuando el número de partículas en muy grande, tal como en un átomo de muchos electrones o un gas compuesto de millones de moléculas, el problema resulta demasiado complicado matemáticamente. Debemos entonces usar ciertos métodos estadísticos para computar valores promedio de las cantidades dinámicas en vez de valores individuales precisos para cada componente del sistema. Además, en los sistemas complejos no estamos interesados en el comportamiento de cada componente individual (ya que dicho comportamiento no es observable en general) sino en el comportamiento del sistema como un todo. La técnica matemática para tratar esos sistemas constituyen lo que se llama la mecánica estadística. Si nos olvidamos por un momento de la estructura interna del sistema y simplemente aplicamos la ec. (9.35), usando valores medidos experimentalmente para U y W, estamos empleando otra rama de la física, la termodinámica. (Alonso y Finn, 1, 269)]

Temperatura

[Definamos primero la temperatura T del sistema como una cantidad relacionada con la energía cinética promedio de las partículas en el sistema. Por tanto la temperatura es definida independientemente del movimiento del sistema relativo al observador. La energía cinética promedio de una partícula es

donde N es el número total de partículas y v_i es la velocidad de la partícula en el sistema...

No necesitamos indicar aquí la relación precisa entre la temperatura y la energía cinética promedio. Es suficiente por el momento suponer que, dada la energía cinética promedio en un sistema, podemos computar la temperatura del sistema, y recíprocamente. En este sentido hablamos de la temperatura de un sólido, de un gas, y aún de un núcleo complejo...

Un sistema que tiene la misma temperatura a través de todas sus partes, de modo que la energía cinética promedio de las partículas en cualquier región del sistema es la misma, se dice que está en equilibrio térmico. En un sistema aislado, cuya energía interna es constante, la temperatura puede cambiar si la energía cinética interna cambia, debido a un cambio en la energía potencial interna... Pero si la energía potencial interna de un sistema aislado permanece constante, que es el caso de un gas contenido en un caja rígida, entonces la energía cinética promedio del sistema permanecería constante; esto es, su temperatura no cambiará. Cuando el sistema no está aislado, puede intercambiar energía con el resto del universo, lo que puede resultar en un cambio de su energía cinética interna y, por tanto, de su temperatura.

La temperatura debiera ser expresada en joules por partícula. Sin embargo, es costumbre expresarla en grados. La escala de temperatura usada en física es la escala absoluta. La unidad se llama Kelvin, y se denota por K. En esta escala, la temperatura de fusión del hielo a presión atmosférica normal es 273,15 K y la temperatura de ebullición del agua a presión atmosférica normal es 373,15 K. (Alonso y Finn, 1, 269-270)]

Trabajo

[El intercambio de energía de un sistema con el mundo exterior es representado por el trabajo externo W_ext en la ec. (9.35). Esto es,

U - U₀ = W_ext

Si el trabajo es hecho en el sistema (W_ext positivo), su energía interna aumenta, pero si el trabajo es hecho por el sistema (W_ext negativo), su energía interna disminuye. Este trabajo externo es la suma de los trabajos externos individuales hechos en cada una de las partículas del sistema, pero a veces puede ser fácilmente computado estadísticamente.

Consideremos, por ejemplo, un gas dentro de un cilindro, una de cuyas paredes es un pistón movible (Fig. 9-17). Es gas puede intercambiar energía y momentum con las vecindades a través de los choques e interacciones de sus moléculas con las moléculas de las paredes. El intercambio del momentum está representado por una fuerza ejercida por cada molécula en el punto de colisión con la pared. Estas fuerzas individuales fluctúan en cada punto, pero debido a que hay un gran número de colisiones sobre un área grande, el efecto total puede ser representado por una fuerza F actuante sobre la totalidad del área. Si A es el área y p la presión del gas, definida como la fuerza promedio por unidad del área, entonces

Si una de las paredes del recipiente es movible, tal como el pistón de la Fig. 9-17, la fuerza ejercida por el gas puede producir un desplazamiento dx de la pared. El intercambio de energía del sistema con el mundo exterior puede entonces ser expresado como el trabajo hecho por esta fuerza durante el desplazamiento. Ya que éste es trabajo hecho por el sistema y no trabajo hecho en el sistema, podemos considerarlo negativo. Por consiguiente

donde dV = A dx es el cambio de volumen del gas. Entonces si el volumen cambia de V₀ a V, el trabajo externo hecho en el sistema será

Para computar esta integral, debemos conocer la relación entre p y V. Esta relación ha sido estudiada para gases y otras sustancias en gran detalle. (Alonso y Finn, 1, 270-1)]

Calor

[Es importante recordar que la ec. (9.48) expresa un promedio macroscópico que suma todos los intercambios individuales de energía entre las moléculas del gas y las moléculas del pistón. Pero, ¿cómo se puede computar el intercambio de energía que ocurre debido a la interacción de las moléculas de gas con las paredes que permanecen fijas? En este caso, el método usado para evaluar W para el pistón no puede aplicarse, ya que, aunque definamos todavía la fuerza promedio sobre la pared, no podemos definir un desplazamiento promedio de la pared.

En cada interacción individual entre las moléculas del gas y la pared, se ejerce una pequeña fuerza y se produce un pequeño desplazamiento de las moléculas en la pared. Si pudiéramos computar cada una de esas cantidades infinitesimales de trabajo y sumarlas, tendríamos el trabajo exterior correspondiente hecho por el sistema. Sin embargo, esta técnica en obviamente casi imposible debido al gran número de factores que intervienen. Por consiguiente, definiremos un nuevo concepto macroscópico o estadístico llamado calor.

El valor promedio del trabajo externo o la energía intercambiada entre un sistema y el medio que lo rodea debido a intercambios individuales de energía que ocurren como resultados de choques entre moléculas del sistema y moléculas del medio que lo rodea se llama calor, Q, siempre que no pueda expresarse macroscópicamente como fuerza por distancia. Por consiguiente, Q está compuesta de una suma de un gran número de trabajos externos individuales muy pequeños, tales que no pueden ser expresados colectivamente como una fuerza promedio por una distancia promedio.

El calor Q se considera positivo cuando corresponde a un trabajo externo neto hecho sobre el sistema y negativo cuando es equivalente a un trabajo externo neto hecho por el sistema. En el primer caso decimos que el calor es absorbido por el sistema y en el segundo caso decimos que el calor es perdido por el sistema.

Ya que el calor corresponde a un trabajo, debe expresarse en joules. Sin embargo, el calor se expresa algunas veces en una unidad llamada caloría, cuya definición fue adoptada en 1948 como 1 caloría = 4,1840 J. La caloría fue introducida originalmente como unidad de calor cuando la naturaleza de éste era desconocida. Pero la caloría es simplemente otra unidad para medir trabajo y energía, y no solamente calor.

Este es el momento de prevenir al estudiante a fin de que no considere el calor como una nueva o diferente forma de energía. Es simplemente, el nombre dado a una transferencia de trabajo y energía de tipo especial, en la cual participan un gran número de partículas. Antes de que los conceptos de interacción y de la estructura atómica de la materia fueran claramente comprendidos, los físicos clasificaron la energía en dos grupos: energía mecánica correspondiente a las energías cinética y potencial gravitatoria, y energía no mecánica, dividida en calor, energía química, energía eléctrica, radiación, etc. Esta división ya no se justifica. Ahora los físicos reconocen solamente energía cinética y potencial, denotando la energía potencial con una diferente expresión según la naturaleza de la interacción física correspondiente, y denotando con calor y radiación dos mecanismos de transferencia de energía. La energía química es simplemente un término macroscópico para describir la energía asociada con las interacciones eléctricas en los átomos y las moléculas, energía que se manifiesta en procesos químicos; esto es, en redistribuciones atómicas dentro de las moléculas. (Alonso y Finn, 1, 272-273)]

5. Bibliografía

Abbott, M.M., Vanness, H.C., (1991): Termodinámica. México: McGraw-Hill.

Alonso, M., Finn, E.J., (1976): Física. vol. 1. México: FEI.

Gillespie, D.T., (1976): Introducción a la Mecánica Cuántica. Barcelona: Reverté.

Kittel, Ch., Walter, D.K., Malvin, A.R., (1968): Mecánica. Berkeley Physics Course, vol. 1. Barcelona: Reverté.