Análisis del Comportamiento Verbal Articulatorio en Conversaciones Grupales Espontáneas. E. Barrull, 1992. (esteban@biopsychology.org)

Apéndice A: Teorema de Fourier⁽¹⁾

Integral de Fourier

Forma compleja de la transformada de Fourier

Gracias al teorema de Fourier, desarrollado por el matemático francés Fourier (1807-1822) y completado por el matemático alemán Dirichlet (1829), es posible demostrar que toda función periódica continua, con un número finito de máximos y mínimos en cualquier período, puede desarrollarse en una única serie trigonométrica uniformemente convergente a dicha función, llamada serie de Fourier.

Fig. 1 Ejemplo de vibración periódica

En concreto, suponiendo que la función x(t) de la Fig. 1 tuviera un período T, es decir, que se repitiera transcurrido el tiempo T tal que x(t) = x(t+T), para todo t, dicha función puede desarrollarse en una serie de la forma

Las funciones y representan funciones armónicas simples de frecuencia

por lo tanto, la serie anterior puede interpretarse como la suma de infinitas ondas armónicas simples de amplitudes dadas por a_k para las coseno y b_k para las seno, y con frecuencias .

Las amplitudes a_k y b_k reciben el nombre de coeficientes de Fourier y pueden obtenerse evaluando las integrales

El coeficiente a₀ corresponde al valor medio de la función en el período T, es decir,

y puede hacerse cero si se escoge adecuadamente el cero del eje x, de modo que coincida con la media de x, a lo largo de su período T. Entonces, a₀ = <x_T> = 0, tal como se muestra en la Fig. 1

En la Fig. 2 se muestra la representación gráfica de cada uno de los coeficientes de Fourier para una hipotética vibración x(t). Representamos en dos cuadros distintos los conjuntos {a_k} y {b_k} que definen el eje de ordenadas de cada cuadro. El eje de abscisas es el mismo en los dos y queda definido por la frecuencia w_k de cada una de las ondas armónicas simples. Hay que prestar atención al hecho de que el eje de frecuencias es discreto, y que su unidad de escala viene dada por

y por lo tanto, cuanto mayor sea el período T, menor será el espacio entre las frecuencias y por consiguiente será mayor la resolución frecuencial que podamos obtener.

Fig. 2 Representación gráfica de los coeficientes de Fourier.

Integral de Fourier

El análisis anterior sirve para funciones periódicas infinitas y en la práctica, estas nunca existen. Para avanzar en el desarrollo de la teoría del análisis de Fourier, debemos plantearnos el caso de una vibración cuyo período T sea ¥, lo cual equivale a decir que la vibración no tenga período.

En el caso límite de que T ®   ¥ , los coeficientes se solaparán, puesto que según (7), Dw®  0. Entonces, los coeficientes de Fourier discretos {a_k} y {b_k} se transforman en las funciones continuas A(w)  y B(w). Dichas funciones pasan a denominarse las componentes de la transformada de Fourier de x(t) y quedan definidas por las integrales

Por otra parte, la serie de Fourier (1) se convertirá en la integral de Fourier o también llamada transformada inversa de Fourier, dada por

Puesto que x(t) ya no es periódica, la condición para que se cumplan (9) y (10) es que

lo que viene a expresar el hecho de que aunque x(t) esté definida en el rango (-¥, +¥), tiene que tener una 'vida' limitada, es decir, que x(t) = 0 cuando t = ± ¥.

En resumen, una integral de Fourier puede ser considerada como el limite formal de una serie de Fourier cuando el período tiende a infinito, lo cual permite el tratamiento de funciones no-periódicas o aleatorias.

Forma compleja de la transformada de Fourier

Por razones de utilidad es conveniente agrupar las dos funciones reales de (9), mediante una función compleja. Teniendo en cuenta que

podemos definir la función compleja

donde es la parte real y es la parte imaginaria de,obteniéndose la expresión equivalente a (9)

a cual es la forma compleja de la transformada de Fourier de x(t).

Del mismo modo, la expresión de x(t) dada en (10), puede ser evaluada en términos de la función compleja , lo que nos da la forma compleja de la transformada inversa de Fourier

La información contenida en x(t) es la misma que en, solo que expuesta desde una perspectiva diferente. En x(t) representamos la información en su dimensión temporal, mientras que en se representa la misma información en su dimensión frecuencial. Es como si, de un mismo objeto, pudiéramos obtener dos puntos de vista distintos de tal modo que se pusieran de relieve propiedades distintas del mismo desde cada una de las perspectivas.

Notas:

1. (Newland, cap 4, i pp 114), (Berkeley, vol 3, pp 64-69)