Análisis del Comportamiento Verbal Articulatorio en Conversaciones Grupales Espontáneas. E. Barrull, 1992. (esteban@biopsychology.org)

Apéndice B: Densidad Espectral

Función de Autocorrelación

Densidad Espectral

Cambio de frecuencia angular a frecuencia lineal

Precisión de las medidas

El estudio de la composición frecuencial de las vibraciones se realiza mediante el cálculo de la densidad espectral del proceso o espectro de potencia, aprovechando el resultado del teorema de Fourier.

Aunque en la práctica pueda calcularse directamente a partir de la transformada de Fourier del propio proceso x(t), desde un punto de vista matemático no puede definirse así, puesto que al tratar con muestras limitadas de procesos reales, tenemos que suponer que se tratan de muestras de procesos aleatórios estacionarios. Y puesto que estos se definen como aquellos cuyas "propiedades estadísticas son invariantes respecto a un desplazamiento del origen de los tiempos" (Papoulis, 1978, p 223), resulta que la condición

                                (1)

para que podamos aplicar la transformada de Fourier, ya no se cumple (ver Apendice A).

Ello obliga a que, para la definición matemática de la densidad espectral, necesitemos introducir la definición de la función de autocorrelación del proceso estacionário x(t).

Función de Autocorrelación.⁽¹⁾

La función de autocorrelación de un proceso aleatorio x(t) se define como el valor medio del producto , y suponiendo que el proceso sea estacionario, el valor de la media será independiente del tiempo absoluto t, y solo dependerá del parámetro temporal , quedando entonces como

  (2)

Las propiedades más importantes de la función de autocorrelación son:

a) si x(t) es estacionaria, el valor medio y la desviación típica serán independientes de t, de forma que

  (3)

con lo que se demuestra facilmente que el coeficiente de correlación para x(t) y x(t+t) será

                (4)

y por lo tanto,

      (5)

b) de a) se sigue que la función de autocorrelación esta acotada por los valores

(6)

puesto que r(t) está acotada por ±1.

c) cuando ,

(7)

d) cuando tiende a ¥, el proceso aleatorio tenderá a estar incorrelacionado puesto que no existirá relación entre x(t) y . Por tanto, el coeficiente de correlación tenderá a 0, y según (4)

(8)

Por lo tanto, la función de autocorrelación de cualquier proceso aleatorio cumple con la condición expresada en (1), si se transforma convenientemente la función x(t) de tal modo que áxñ = 0. Es ésta la razón por la que se hace necesario introducir la función de autocorrelación para la aplicación de la transformada de Fourier en el cálculo de la densidad espectral de los procesos aleatorios.

Fig. 1 Ejemplo de una función de autocorrelación de un proceso aleatorio estacionario.

Densidad Espectral⁽²⁾

Se define la densidad espectral del proceso x(t), como la transformada de Fourier de su función de autocorrelación , que según las ecuación (11) del apendice A, vendrá dada por

(9)

por lo que la función de autocorrelación podrá expresarse como la transformada inversa del espectro (vease ecuación (12) del apendice A),

(10)

es una función continua de la frecuencia angular , y sus propiedades más importantes son:

a) dado que puede expresarse en términos de sus partes real e imaginaria

,

si el proceso x(t) es real, se puede demostrar que

(11)

donde

(12)

es decir, que es una función real de . Esta es otra razón por la que interesa abordar el estudio de la estructura frecuencial de los procesos reales x(t) a través de su espectro y no de su transformada de Fourier , dado que esta última es siempre una función compleja más dificil de manejar e interpretar.

b) de a) puede deducirse que es una función par, es decir, que , es decir, es una función simétrica positiva.

c) por último, de su definición puede deducirse que

(13)

por lo que el valor cuadrático medio de un proceso viene dado por el área comprendida bajo el gráfico de la densidad espectral (ver Fig. 2). Las unidades de son las de (valor cuadrático medio)/(unidad de frecuencia).

Fig. 2 Representacion espectral para un proceso real x(t).

Cambio de frecuencia angular a frecuencia lineal⁽³⁾

Algebraicamente, es mejor trabajar con unidades de frecuencia angular (radianes/segundo), pero empiricamente es más conveniente trabajar con unidades de frecuencia f expresadas en Hz (ciclos por segundo). De igual modo, puesto que la función de densidad espectral es simétrica para procesos reales, en la práctica sólo necesitamos trabajar con la parte de frecuencias positivas, es decir, de 0 a ¥.

La transformación se realiza encontrando una función , definida entre 0 y ¥, que sea equivalente a y que, por tanto, cumpla

(14)

donde f es la frecuencia en Hz dada por .

Fig. 3 Cambio de unidades de frecuencias angulares a lineales.

Para ello, tal como se muestra en la Fig. 3, el área comprendida entre la banda de frecuencias a rad/s, tanto en su parte positiva como negativa, debe ser igual a la de la banda de frecuencias equivalentes f+df Hz. Por tanto

(14)

y dado que , el espectro en unidades de frecuencia lineal W_x(f) está relacionado con el espectro en unidades de frecuencia angular por la expresión

(15)

Precisión de las medidas⁽⁴⁾

Antes de pasar a plantear el procedimiento de llevar a la práctica el análisis espectral de señales vibratorias, debemos plantear las restricciones que se plantean en cuanto a la precisión de las medidas espectrales, teniendo en cuenta que nuestro proceso a analizar debe interpretarse como una muestra de un registro teóricamente infinito y estacionario. Estamos ante el problema de estimar el espectro 'verdadero' de la población (registro infinito estacionario), del espectro obtenido de la muestra y evaluar la confianza de dicha estimación.

Se puede demostrar que para T suficientemente grande, se puede estimar el espectro , a partir del módulo de la transformada de Fourier de la muestra x(t), dada por

(16)

Sin embargo, aunque , la varianza de la estimación es grande. En concreto se demuestra que , independientemente de la longitud que tenga T.

La única forma de reducir la varianza de la estimación, consiste en alisar el espectro obtenido a costa de perder resolución frecuencial.

Notas:

1. (Newland, cap 3, pp 25 ss.), (Papoulis, cap 6, pp 221 ss.)

2. Ver en D.E. Newland, cap. 5, pp. 40-51, y Papoulis, pp. 226-227. (consultar Berkeley, vol 3, pp. 312-322)

3. (Newland, pp 50, 51)

4. Ver D.E. Newland, cap 9, y Papoulis, cap. 8.