Análisis del Comportamiento Verbal Articulatorio en Conversaciones Grupales Espontáneas. E. Barrull, 1992. (esteban@biopsychology.org)

2.1 Conceptos metodológicos fundamentales

2.1.1 Movimiento ondulatorio

2.1.1.1 Movimiento armónico simple

2.1.1.2 Composición de vibraciones armónicas simples

2.1.2 Teorema de Fourier

2.1.3 Representación espectral

2.1.4 Entropía espectral

En este apartado presentamos una discusión elemental de los principales conceptos matemáticos que nos permiten desarrollar el análisis para la determinación de la existencia de patrones en el comportamiento verbal.

No pretendemos hacer una exposición completa y detallada de dichos conceptos, por tratarse de conceptos básicos en la ciencia actual y por el hecho de que existe una extensa bibliografía sobre los mismos. No obstante, al ser conceptos muy poco introducidos en la investigación de las ciencias sociales, hemos creído oportuno hacer una breve referencia con el fin de permitir un seguimiento más cómodo de todo el trabajo.

Los conceptos fundamentales que tratamos aquí son: 1) la teoría del movimiento ondulatorio, como el instrumento básico que nos permite manejar la representación, tanto teórica como empírica, que obtenemos del comportamiento verbal. 2) el teorema de Fourier y la representación espectral, como el instrumento de análisis básico que nos permite el estudio de la estructura rítmica del comportamiento verbal y 3) el concepto de entropía como la medida del orden producido en el comportamiento verbal.

2.1.1 Movimiento ondulatorio

El comportamiento verbal, en su expresión externa, consiste en la emisión del sonido producido por la vibración de las cuerdas vocales. Como sabemos, el sonido se transporta por el espacio mediante la vibración de las moléculas del aire, la cual puede ser cuantificada instrumentalmente. La medida empírica de esta vibración se representa por la evolución temporal de una variable observacional (intensidad, voltaje, presión, etc.).

Como ya hemos comentado anteriormente, la característica vibrante del comportamiento verbal no se circunscribe exclusivamente a su dimensión acústica propiamente dicha. Existen movimientos vibratorios en el comportamiento verbal, más lentos que los producidos por las cuerdas vocales. En primer lugar, tenemos el movimiento articulatorio, el cual es el responsable de la sucesión de las distintas sílabas. Una vibración de mayor lentitud es la producida por el ciclo silencio/emisión, mediante el cual se estructura el contenido del mensaje transmitido.

Sea cual sea el nivel de análisis, la teoría del movimiento ondulatorio nos ofrece los conceptos necesarios para manipular, tanto desde un punto de vista teórico como práctico, la fenomenología del comportamiento verbal en su dimensión física.

En realidad, dicha teoría es un instrumento matemático capaz de describir cualquier fenómeno vibratorio y su utilización es fundamental en la ciencia actual⁽¹⁾.

Por otra parte, creemos que su idoneidad para describir los fenómenos de comportamiento psicosocial es excelente, aunque para su realización debamos esperar un mayor desarrollo de las técnicas de observación objetiva.

2.1.1.1 Movimiento armónico simple

En la Fig. 2.1, se ilustra un ejemplo de lo que podríamos llamar la vibración más simple y ordenada posible. En ella se representa un movimiento de oscilación constante y regular a lo largo del tiempo, con una duración de 4 segundos. Podemos observar como esta vibración se caracteriza por la repetición exacta de un mismo movimiento (ciclo).

Dos parámetros son suficientes para caracterizar esta vibración. En primer lugar, el parámetro A determina la altura de la vibración y recibe el nombre de amplitud de onda. En segundo lugar, el parámetro T, determina la duración de un ciclo de la vibración y recibe el nombre de período. El período se define como el tiempo que tarda la vibración en repetirse (1 ciclo). En la figura, la vibración se repite 4 veces en los 4 segundos, por lo tanto, T = 4/4 seg = 1 seg. Por consiguiente, haciendo más pequeño el valor T, hacemos que la vibración se repita más veces en un mismo tiempo (sea más rápida) y viceversa.

Junto con estos dos parámetros, existe una función matemática que permite dar cuenta de cada uno de los valores que va adoptando la vibración a lo largo del tiempo. Dos funciones trigonométricas son aptas para ello: la función coseno (cos) y la función seno (sin). En nuestro ejemplo hemos utilizado la función coseno, de modo que la función matemática que caracteriza completamente la vibración de la figura es

Con esta función, sólo necesitamos preestablecer los valores de A (amplitud) y T (período) para poder obtener el valor de la coordenada para cualquier tiempo t, de la vibración mostrada en la figura.

Toda vibración que pueda describirse con una sola función coseno (o seno) como la anterior, recibe el nombre de vibración armónica simple. Un ejemplo aproximado de vibración armónica simple es el sonido de las notas de la escala musical o el tic-tac de un reloj.

En el tratamiento de vibraciones se sustituye a menudo el concepto de período por el concepto de frecuencia para describir la rapidez con la que una vibración se repite. Puesto que, como hemos visto, la rapidez de vibración es inversamente proporcional a la duración del período, se define el concepto de frecuencia f como el inverso del período, es decir, . De este modo, la frecuencia es un indicador directo de la velocidad de la vibración, y por lo tanto, es más intuitivo. Sus unidades son las de ciclos por unidad de tiempo, y en nuestro ejemplo, será f = 1 ciclos/seg. Cuando la unidad de tiempo es el segundo, la unidad de frecuencia se llama Hertz y se abrevia Hz (f = 1 Hz).

Conviene no confundir, en este contexto, el concepto estadístico de frecuencia con el que utilizaremos aquí. En estadística, la frecuencia describe el número de ocasiones en que un evento se produce. La frecuencia relativa nos informa de la proporción de ocurrencias de un suceso con respecto al número total de sucesos considerados. En la teoría ondulatoria, la frecuencia describe el número de ciclos (eventos) que se producen a lo largo de la unidad de tiempo que utilicemos. Por consiguiente es una medida relativa a la unidad de medida temporal. De la misma forma que en estadística utilizamos como unidad relativa de frecuencia el %, en la teoría ondulatoria se utiliza el Hz, si la unidad de tiempo elegida es el segundo.

En todo caso, téngase en cuenta que, a partir de ahora, siempre que utilicemos el término 'frecuencia', lo haremos refiriéndonos a su significación en la teoría ondulatoria y no en el de la teoría de la probabilidad y estadística⁽²⁾.

Volviendo a la expresión matemática de la vibración armónica simple anterior, podemos reescribirla en función de la frecuencia, substituyendo el parámetro T por 1/f, con lo que queda

2.1.1.2 Composición de vibraciones armónicas simples

Si sumamos dos o más ondas armónicas simples distintas, ¿obtendremos una nueva vibración? En la Fig. 2.2 se muestra el resultado de sumar tres ondas armónicas simples de frecuencias f₁ = 1 Hz, f₂ = 2 Hz y f₃ = 4 Hz y amplitudes a₁, a₂ y a₃, respectivamente. Podemos ver como el resultado es una nueva vibración , pero esta ya no se parece tanto a la anterior. Aunque observamos la repetición exacta de un mismo movimiento (ciclo), este presenta una cierta complejidad interna. Este aumento de complejidad se debe a los efectos de interferencia que se producen al sumar las vibraciones armónicas simples que la componen.

La vibración resultante ya no es una vibración armónica simple, puesto que no puede representarse matemáticamente con una sola función seno o coseno. En este caso, su representación matemática viene dada por la suma de las tres funciones armónicas simples que la componen, es decir, si

entonces

o, en forma más compacta,

Un ejemplo intuitivo de este fenómeno lo encontramos en los acordes musicales. Al ejecutar un acorde en un piano, tenemos que pulsar simultáneamente dos o más teclas, es decir, creamos un sonido que está compuesto por la suma de las notas simples correspondientes a cada una de las tecla pulsadas.

El concepto de composición armónica de una onda es fundamental para el análisis vibratorio, en realidad, diríamos que constituye el núcleo básico de todo el edificio teórico ondulatorio. Matemáticamente, esta propiedad se designa como linealidad. Conceptualmente, un sistema es lineal si cualquier combinación de sus elementos produce un nuevo elemento perteneciente al propio sistema. Pero hemos de advertir contra el prejuicio existente sobre las propiedades lineales como descriptoras de los sistemas humanos.

Se suele interpretar la linealidad como mera suma de elementos o agregación cuantitativa, dándose por supuesto que dicha agregación no comporta la emergencia de nuevos fenómenos⁽³⁾. En este sentido, nosotros estaríamos de acuerdo con ello si lo que se suma son elementos numéricos, cuyo resultado es igualmente un número⁽⁴⁾. Pero si lo que sumamos son entidades tales como ondas, vectores, operadores, etc, el resultado de dichas sumas ya no es tan simple y permiten la emergencia de fenómenos no contenidos en los elementos iniciales.

Volviendo al ejemplo musical, podríamos decir que un acorde no equivale a la secuencia temporal de las notas aisladas que lo componen. La percepción de un acorde es un fenómeno nuevo no contenido en las notas elementales que lo componen y no obstante dicho acorde puede describirse mediante la suma lineal de sus notas elementales.

Si observamos otra vez la Fig. 2.2, hemos de admitir que el resultado de sumar las tres ondas armónicas simples, produce un fenómeno nuevo, no contenido previamente en ellas. Y que la emergencia de nuevas características se debe a los efectos de interferencia (interacción) que se producen al sumar dichas ondas.

2.1.2 Teorema de Fourier

En el apartado anterior hemos visto que mediante la suma de vibraciones armónicas simples es posible construir una nueva vibración. Ahora bien, ¿cualquier vibración, por compleja que sea, puede ser reconstruida mediante una suma de vibraciones armónicas simples? En otras palabras, ¿el modelo elemental que hemos expuesto anteriormente es válido para cualquier vibración?

La respuesta es que sí, gracias a los trabajos del matemático francés Fourier (1822) y del matemático alemán Dirichlet (1829), dando como resultado el que hoy llamamos teorema de Fourier⁽⁵⁾.

Este resultado es fundamental, ya que nos permite el análisis de cualquier vibración a través del estudio de las vibraciones armónicas que la componen.

El teorema de Fourier tiene un ámbito de aplicación muy amplio, por lo que nos limitaremos a su expresión fundamental para el caso concreto de nuestras necesidades⁽⁶⁾. Así, del teorema de Fourier se deduce que cualquier vibración x(t) que esté definida en un período de tiempo de T seg (y de la cual dispongamos de N muestras), puede reconstruirse exactamente mediante la suma de ondas armónicas

siempre y cuando su media , y que se satisfaga la relación de Nyquist⁽⁷⁾.

El requisito de que la media de la amplitud de la vibración sea 0 no es ninguna limitación en la práctica (ni conceptual), puesto que siempre podemos hacer un cambio de variable de la forma

por lo que .

La frecuencia de cada vibración armónica viene dada por

siendo N, el número de muestras que tenemos de la vibración. En la práctica, el análisis de Fourier consiste en determinar las dos series de amplitudes {a_k} y {b_k} de N/2 elementos cada una que corresponda a una vibración dada.

Así pues, podemos considerar que cualquier vibración está compuesta por la interacción o interferencia (suma) de un conjunto de ondas armónicas simples, de frecuencia f_k, cada una en la magnitud (o proporción) dada por sus amplitudes a_k y b_k respectivas⁽⁸⁾.

Como puede suponerse, la identificación de las ondas armónicas que componen una vibración dada, será el objetivo fundamental de cualquier análisis vibratorio.

2.1.3 Representación espectral

Una forma muy adecuada de poner de relieve la estructura armónica de cualquier vibración, revelada por su análisis de Fourier, consiste en elaborar su representación espectral. Esta representación nos informa de cuales son las vibraciones armónicas que la componen, y en qué cuantía o proporción intervienen.

En la figura Fig. 2.3, mostramos la representación espectral para la vibración de nuestro ejemplo anterior de la Fig. 2.2. Como puede observarse, este espectro nos informa de que la vibración está compuesta por sólo tres vibraciones armónicas (tres líneas verticales) de frecuencias 1, 2 y 4 Hz (según la posición en el eje horizontal de cada línea), y en la cuantía dada por las alturas a₁, a₂ y a₃ (amplitudes de onda) respectivamente.

Una característica importante de la representación espectral reside en su inmediatez visual para revelar la estructura armónica de cualquier vibración. Si observamos la vibración de la Fig. 2.2, difícilmente podríamos deducir que es el producto de la interacción de tres ondas armónicas⁽⁹⁾, mientras que si observamos su espectro es evidente que esto es así (tres líneas = tres ondas armónicas).

Ahora bien, el teorema de Fourier nos permite reconstruir cualquier vibración a partir de sus ondas armónicas definidas por los conjuntos {a_k} y {b_k} supuestamente conocidos. Pero lo que realmente nos interesa es como podemos obtener estos conjuntos a partir de la vibración x(t) inicial y así, poder hacer su representación espectral.

No obstante, hemos visto como el teorema de Fourier asigna a cada frecuencia armónica f_k dos amplitudes, a_k y b_k, una para la onda armónica coseno y otra para la seno. Por consiguiente, la representación espectral completa tiene que reunir las dos amplitudes de cada frecuencia. Ello se consigue mediante la definición matemática de la amplitud compleja⁽¹⁰⁾

con lo que la serie (compleja) de Fourier queda determinada por⁽¹¹⁾

donde

A X_k se le llama la transformada de Fourier de x(t) y puede evaluarse mediante⁽¹²⁾

En otras palabras, esta es la forma de hallar los coeficientes {a_k} y {b_k} que definen a la vibración x(t)⁽¹³⁾.

Volviendo al problema de la representación espectral, esta se define mediante el cálculo del módulo de X_k, puesto que se trata de una función compleja, es decir,

Resumiendo, podemos decir que la representación espectral informa de la composición armónica de cualquier vibración, y que esta se obtiene mediante el cálculo de su DFT dada por (2-12). La descripción que hemos hecho de la Fig. 2.3 es correcta en cuanto a la interpretación básica de la representación espectral, aunque es insuficiente desde el punto de vista matemático. El cálculo de los valores espectrales involucra complejas técnicas de análisis matemático y estadístico, que se apartan de los objetivos de nuestra exposición⁽¹⁴⁾.

La representación espectral puede entenderse como un cambio de perspectiva en la visualización de la vibración. Un mismo fenómeno vibratorio puede verse desde su distribución temporal (visualización del movimiento vibratorio) o desde su distribución frecuencial (visualización del espectro).

2.1.4 Entropía espectral

El concepto de entropía tiene dos ámbitos de uso distintos en la ciencia actual, aunque en lo fundamental se refieran a un mismo concepto. Por un lado, en la termodinámica y en la física en general, designa el grado de evolución (orden) existente en un sistema. Así, la segunda ley de la termodinámica afirma que, para todo sistema cerrado, la entropía siempre tiende a aumentar, es decir, que todo sistema cerrado siempre tiende al desorden o a la incertidumbre estadística⁽¹⁵⁾.

De otra parte, en la teoría de la información, la entropía designa la información [*] media emitida por una fuente de información, es decir, es una medida de la libertad (incertidumbre estadística) de elección que muestra dicha fuente. En ambos casos, la definición formal (matemática) de la entropía es la misma puesto que se basa en el cálculo de probabilidades.

Para nosotros, este concepto tiene interés tanto en su dimensión física, como en su dimensión informativa. Por un lado, el comportamiento verbal es un fenómeno físico y nuestro objetivo es determinar precisamente en que medida existe orden en dicho comportamiento. Pero tampoco debemos olvidar que se trata de un comportamiento fundamentalmente orientado hacia la transmisión de información, y que, como veremos más adelante, esta dimensión va a ser crucial para la comprensión de los resultados de nuestra investigación.

Dado un sistema con M sucesos posibles, la entropía se define como

donde p_j es la probabilidad del suceso j. Si los sucesos que estamos considerando son la emisión de determinados símbolos por una fuente de información, entonces, la entropía da la información[*] media de dicha fuente, ya que la información[**] de un símbolo j se define como

por lo que,

De la definición del concepto de entropía se desprende que ésta sólo tiene sentido si existe un conjunto de sucesos sobre los cuales dispongamos de una medida de probabilidad.

En nuestro caso, la representación espectral puede interpretarse como una distribución de probabilidad, en la que los M sucesos elementales son el conjunto de ondas armónicas, caracterizadas por su frecuencia de vibración f_j, y la medida de probabilidad p_j de cada armónico, viene dada por la amplitud espectral relativa de cada frecuencia.

Es decir, podemos considerar que cualquier vibración es un suceso compuesto de sucesos elementales independientes (ondas armónicas) cuyas probabilidades vienen dadas por el 'peso' relativo con que cada suceso elemental contribuye a la formación del suceso completo.

Para ello, haciendo en nuestro caso M = N/2, sólo tenemos que normalizar el espectro de amplitudes haciendo

con lo que

Vamos a ver, intuitivamente, como la medida de la entropía, sobre la distribución espectral p_k, es capaz de evaluar el grado de orden temporal existente en las vibraciones. Para ello empezamos por considerar el caso en que el orden sea máximo. Se demuestra que la entropía es una medida positiva (), por lo que su valor mínimo (mínima incertidumbre / máxima certidumbre / máximo orden) es 0, y esto sólo ocurre cuando existe un suceso con una probabilidad igual a 1, lo que implica que el resto de sucesos tienen una probabilidad igual a 0.

En nuestro caso, esto equivale a que en el espectro existiera una sola línea vertical, en cualquier posición, por lo que, la vibración en cuestión estaría compuesta de una sola onda armónica simple, es decir, sería esa misma onda armónica. Evidentemente, esta es la vibración más ordenada posible que pueda darse, independientemente de su amplitud y frecuencia de vibración (ver Fig. 2.1).

En el otro extremo, hemos de considerar el caso de la máxima entropía (máximo desorden). La entropía es una medida acotada, es decir, que siempre tiene un límite máximo para cualquier sistema (). Este máximo depende de la naturaleza de cada sistema.

El caso más simple es cuando el sistema puede adoptar un conjunto de estados limitado. En este caso, la máxima entropía se obtiene cuando la distribución de probabilidad es equiprobable (uniforme). Entonces, la entropía máxima viene dada por

donde M es el número de estados posibles del sistema.

En nuestro caso hemos dicho que los sucesos (o estados) de un sistema vibratorio se describen por las ondas armónicas de frecuencia variable. Cada onda armónica se identifica por su frecuencia de vibración f.

Un sistema vibratorio genérico (no constreñido mecánicamente), puede adoptar desde vibraciones muy lentas (próximas a 0 Hz) hasta vibraciones rapidísimas. Teóricamente, y en general, el rango de frecuencias accesibles (estados) puede considerarse infinito y se expresa matemáticamente como [0, ) Hz⁽¹⁶⁾.

Para este caso, y suponiendo que el sistema puede acceder a todos los estados con igual probabilidad, la distribución de máxima entropía, queda restringida por la energía del sistema particular que se considere. Dicha distribución de probabilidad recibe el nombre de distribución de Boltzmann⁽¹⁷⁾ y viene dada por⁽¹⁸⁾

Como puede observarse, esta distribución sólo se ve afectada por la frecuencia media de la vibración.

El cálculo del valor de la máxima entropía viene dado por

En la Fig. 2.4 representamos la forma que adopta la distribución espectral de Boltzmann para valores distintos de la frecuencia media. En cualquier caso, se trata de una distribución que enfatiza las frecuencias bajas del espectro.

Si representamos una vibración cuya distribución espectral corresponda a una función de Boltzmann con frecuencia media de 14 Hz, tal y como puede apreciarse en la Fig. 2.5, nos daremos cuenta que el desorden es apreciable.

No obstante, pudiera dar la impresión de que este desorden no es el máximo posible, pero debemos recordar que esta vibración ha sido generada con la limitación de que su frecuencia media fuese de 14 Hz. En realidad, sólo podemos aumentar la entropía de la vibración de la figura si se aumenta su frecuencia media. Cuando una vibración tiene una distribución espectral de máxima entropía recibe el nombre de ruido blanco.

Este ejemplo nos sirve para introducir la diferencia existente entre entropía y desorden. La entropía no es una medida directa del desorden de un sistema, puesto que el valor absoluto que adopta la entropía depende del 'tamaño' del sistema, es decir, del número de estados accesibles.

En realidad la medida del desorden producido viene dada por la llamada entropía relativa H_r, que se calcula haciendo

donde H_max es la entropía máxima que admite el sistema y que depende del tipo de restricciones a que esté sometido. Por consiguiente

para cualquier sistema.

Volviendo al ejemplo de la Fig. 2.5, dicha vibración tiene H_r = 1 (máximo desorden), donde su H_max ha sido evaluada por (2-21) en función de que = 14 Hz. Ahora bien, hemos de tener en cuenta, que podríamos generar una vibración cuya entropía fuese superior a la del ejemplo (), pero que a su vez fuese más ordenada que aquella (), puesto que lógicamente su frecuencia media (y su entropía máxima) sería superior a la del ejemplo.

Por consiguiente, aunque normalmente se utilice el concepto de entropía como sinónimo de desorden, hay que tener presente que ello se trata de una simplificación en el lenguaje, y que, en propiedad, es la entropía relativa la que evalúa el desorden de un sistema y la que permite hacer comparaciones entre sistemas distintos.

En cuanto a las unidades de la entropía, estas dependen de la base que utilicemos para el logaritmo involucrado en su cálculo. Si utilizamos la base 2, la unidad es el bit, si utilizamos logaritmos base e, la unidad es el nat, y si utilizamos la base 10, la unidad es el dit o también se llama hartley. La entropía relativa es independiente de las magnitudes absolutas del sistema que se esté considerando y carece de unidad.

Vemos pues, como la medida de la entropía relativa sobre las representaciones espectrales nos da un buen índice del grado de orden/desorden existente en una vibración dada, que en nuestro caso, será el comportamiento verbal articulatorio.

Notas:

1. Baste recordar, por ejemplo, que la teoría de la Mecánica Cuántica, en la formulación de Schrödinger, utiliza el lenguaje de la teoría ondulatoria (las famosas funciones de onda ).

2. Como ejemplo de la utilización del concepto frecuencia, recordemos que los sonidos percibidos como agudos son de alta frecuencia, mientras que los graves lo son de baja.

3. Recordemos la concepción tan arraigada de que el fenómeno grupal no es describible mediante la mera suma de los sujetos que lo componen. O la de que el hecho perceptual no se produce por la simple agregación de los estímulos adyacentes.

4. Es decir, sumas del tipo , donde a, b y c son números.

5. Para un punto de vista histórico de este desarrollo ver Aleksandrov et al. (1973), vol. 2, p. 341-353.

6. En nuestro contexto, dado que trabajamos con representaciones digitales de la señal verbal, nos interesa la formulación discreta. Las diferencias entre el caso continuo y el caso discreto son de orden matemático y no conceptual.

7. El teorema de Fourier adopta distintas formulaciones en función de las condiciones en que debe operar. La formulación que presentamos es la que se adapta a nuestro caso concreto de trabajo y su validez matemática está restringida a él. El teorema de Nyquist será tratado en el siguiente apartado referente al muestreo de una vibración.

8. El fenómeno ondulatorio también puede ser visto como un espacio vectorial, donde cada vibración define un vector en dicho espacio, y donde el conjunto de ondas armónicas constituyen una base ortogonal para dicho espacio, es decir, cualquier vector (vibración) puede descomponerse mediante sus proyecciones a los vectores de la base (ondas armónicas).

9. En este caso concreto, para un buen conocedor de la teoría ondulatoria no le seria difícil deducirlo, ya que esta vibración es una armónica compleja.

10. El término 'complejo' designa aquí la propiedad matemática de los números complejos, los cuales están formados por pares de números reales.

11. Esta formulación recibe el nombre de Transformada Discreta de Fourier Inversa o IDFT (Inverse Discrete Fourier Transform).

12. Esta formulación recibe el nombre de Transformada Discreta de Fourier o DFT (Discrete Fourier Transform).

13. Y ello se realiza mediante el algoritmo de calculo FFT (Fast Fourier Transform)

14. Para una exposición detallada y completa del análisis espectral puede consultarse Newland (1975) y Papoulis (1978).

15. La relación entre la irreversibilidad (entropía) y la estadística microscópica fue propuesta por primera vez por Boltzmann en 1866.

16. Lógicamente, se trata de un rango teórico, ya que ningún espectro real puede tener un rango infinito.

17. Se trata de un caso particular de la distribución de Poisson.

18. Ver Frieden (1983), p. 279-280 y López (1981) p. 551-552.

- Aclaraciones posteriores a la presentación de la tesis:

[*] Esta expresión es incorrecta ya que en realidad, la entropía sólo mide la información potencial media de una fuente, no la realmente emitida.